Il existe en mathématiques des principes aussi simples qu’efficaces, capables de résoudre des problèmes apparemment complexes en un clin d’œil. Le principe des tiroirs (ou principe de Dirichlet), énoncé par Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, en est un parfait exemple. Derrière son nom imagé se cache une idée d’une puissance redoutable, qui a traversé les siècles et s’applique à des domaines aussi variés que la combinatoire, la théorie des nombres… ou même les jeux d’échecs !
L’intuition derrière le principe
Imaginez : vous avez n t-shirts à ranger dans m tiroirs. Si le nombre de t-shirts (n) est strictement supérieur au nombre de tiroirs (m), alors il est inévitable qu’au moins un tiroir contienne au moins deux t-shirts.
C’est tout ! Aussi simple que cela puisse paraître, ce raisonnement ouvre la porte à des démonstrations élégantes et parfois surprenantes.
Un outil pour résoudre des problèmes… et des casse-têtes
Le principe des tiroirs n’est pas qu’une curiosité mathématique : il permet de résoudre des problèmes concrets, comme le problème des N-reines ou son cousin, le problème des N-fous.
Imaginons que l’on souhaite placer le plus grand nombre possible de fous sur un échiquier sans qu’aucun ne soit en prise d’un autre. Chaque fou attaque toutes les cases sur ses deux diagonales : il faut donc éviter de placer deux fous sur la même diagonale.
Pour visualiser le principe des tiroirs, on peut colorier les diagonales : chaque couleur représente un tiroir, chaque fou un t-shirt. Si l’on essaie de placer plus de fous que de couleurs différentes, on est certain que deux fous partageront la même couleur… donc la même diagonale, et seront en prise.
Application concrète : le cas des N-fous
Sur un échiquier 8×8, il existe 14 diagonales principales (7 dans chaque direction, sans compter les bords). Le principe des tiroirs nous dit donc qu’il est impossible de placer plus de 14 fous sans qu’au moins deux ne partagent une diagonale.
En d’autres termes, 14 est le maximum de fous que l’on peut placer sans prise sur un échiquier standard.
La représentation par couleurs schématise ce principe : chaque couleur = un tiroir, chaque fou = un t-shirt.
Le principe des tiroirs, un raisonnement universel
Ce principe, aussi intuitif soit-il, est un pilier de la pensée mathématique. On le retrouve dans des démonstrations célèbres, des énigmes, et même dans la vie quotidienne :
- Si 13 personnes sont réunies, au moins deux d’entre elles sont nées le même mois.
- Si vous distribuez 10 pommes dans 9 paniers, au moins un panier contiendra deux pommes.
- Si vous avez plus de 365 personnes dans une pièce, au moins deux partagent le même anniversaire (en négligeant les années bissextiles).
Pour aller plus loin
Le principe des tiroirs est souvent le point de départ de raisonnements par l’absurde : on suppose qu’aucun tiroir n’a plus d’un objet, et on arrive à une contradiction.
C’est un outil précieux, à la fois simple, intuitif et redoutablement efficace.
Astuce : Essayez d’appliquer le principe des tiroirs à d’autres situations de la vie courante ou à des problèmes de logique. Vous serez surpris de sa puissance !
La beauté des mathématiques, c’est que parfois, une idée toute simple peut ouvrir la voie à des solutions élégantes et universelles…